5.1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

Определение 5.1 (Пространственная дискретизация).
Разобьём область ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы. на конечные элементы {Ω₁, ..., Ω_N} и определим базисные функции {φ₁(x), ..., φ_N(x)}.

Аппроксимация поля:

text
ρ(x,t) ≈ Σ_{j=1}^N ρ_j(t) φ_j(x)

Определение 5.2 (Матричные операторы).

  • Матрица массы: M_{ij} = ∫_Ω φ_i φ_j dx

  • Матрица жесткости: S_{ij} = ∫_Ω ∇φ_i · ∇φ_j dx

  • Матрица потенциала: V_{ij} = ∫_Ω V(x) φ_i φ_j dx

5.3. ДИСКРЕТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ОДНОУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Полудискретная задача:

M dρ/dt = -D S ρ - M V ρ + F(ρ) + K ρ

где F(ρ) — вектор нелинейности, K — матрица нелокальной связи.

Схема Кранка-Николсона:

(M + Δt/2 A)ρ^{n+1} = (M - Δt/2 A)ρ^n + Δt F((ρ^n + ρ^{n+1})/2)

где A = D S + M V - K.

5.4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ МНОГОУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Определение 5.3 (Дискретные операторы проекции).
Для уровней k и m с сетками {Ωₖ₁, ..., Ωₖ_{Nₖ}} и {Ωₘ₁, ..., Ωₘ_{Nₘ}}:

Матрица проекции: P_{k←m} размера Nₖ × Nₘ, где

P_{k←m}[i,j] = ∫_{Ωₖᵢ} πₖₘ(φₘ_j) dx

Дискретная многоуровневая система:

Mₖ dρₖ/dt = -Dₖ Sₖ ρₖ - Mₖ Vₖ ρₖ + Fₖ(ρₖ) + 
             Σ_{m≠k} Γₖₘ Mₖ (P_{k←m} ρₘ - ρₖ)

5.5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

class CHCSolver:
    def __init__(self, levels, connections, params):
        self.levels = levels
        self.connections = connections  # {(k,m): Γₖₘ, P_{k←m}}
        self.dt = params['dt']

    def step(self, ρ_list):
        new_ρ_list = []
        for k, ρₖ in enumerate(ρ_list):
            # Локальная динамика
            local_rhs = self.local_dynamics(k, ρₖ)

            # Межуровневые связи
            cross_rhs = 0
            for (src, tgt), gamma in self.connections:
                if tgt == k:
                    P = self.connections[(src, tgt)]
                    cross_rhs += gamma * (P @ ρ_list[src] - ρₖ)

            # Интегрирование
            A = self.M[k] + self.dt/2 * self.A[k]
            b = (self.M[k] - self.dt/2 * self.A[k]) @ ρₖ + self.dt * (local_rhs + cross_rhs)
            new_ρₖ = spsolve(A, b)
            new_ρ_list.append(new_ρₖ)

        return new_ρ_list

5.6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Теорема 5.1 (Погрешность пространственной дискретизации).
Если точное решение ρ ∈ H^{s+1}(ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы.) и используются конечные элементы порядка p, то:

||ρ - ρ_h||_{H¹} ≤ C h^min(p,s) ||ρ||_{H^{s+1}}

где h — характерный размер элемента.

Теорема 5.2 (Погрешность временной дискретизации).
Для схемы Кранка-Николсона:

||ρ(t_n) - ρ^n|| ≤ C Δt²

5.7. КРИТЕРИИ ОСТАНОВКИ ДЛЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

Практические критерии:

  1. Стабилизация дискретного функционала:

|L[ρⁿ⁺¹] - L[ρⁿ]| < ε_L

  1. Норма градиента:

||∇_h ρⁿ|| < ε_∇

  1. Межуровневая согласованность:

max_{k<m} ||P_{k←m} ρₘⁿ - ρₖⁿ|| < ε_π

5.8. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ШАГОМ

Алгоритм 5.1 (Адаптивный шаг):

def adaptive_step(self, ρ_list, dt):
    # Вычисляем локальную погрешность
    ρ_half = self.step_with_dt(ρ_list, dt/2)
    ρ_full = self.step_with_dt(ρ_list, dt)

    error = np.max([norm(ρ1 - ρ2) for ρ1, ρ2 in zip(ρ_half, ρ_full)])

    if error > tolerance:
        return self.adaptive_step(ρ_list, dt/2)
    elif error < tolerance/4:
        return ρ_full, min(2*dt, dt_max)
    else:
        return ρ_full, dt

5.9. БЛОЧНАЯ СТРУКТУРА МАТРИЦ

Для фотонной реализации 16×16 резонаторов:

N = 256 (16×16 узлов)
M = массовая матрица (разреженная)
S = матрица жесткости (разреженная)  
K = матрица нелокальной связи (блочно-диагональная)

Оценка памяти: O(N) вместо O(N²) за счёт разреженности.

5.10. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Распределение по уровням:

# MPI реализация
comm = MPI.COMM_WORLD
rank = comm.Get_rank()
size = comm.Get_size()

# Каждый процесс вычисляет свой уровень
if rank < len(levels):
    ρ_local = solve_level(levels[rank], boundary_conditions)

# Обмен межуровневыми данными
for connection in connections:
    if connection.target == rank:
        data = comm.recv(source=connection.source)
        ρ_local += apply_projection(data)

5.11. ВЕРИФИКАЦИЯ И ВАЛИДАЦИЯ

Тест 5.1 (Сходимость при измельчении сетки):

def test_convergence():
    errors = []
    for h in [0.1, 0.05, 0.025]:
        ρ_h = solve_with_mesh_size(h)
        error = compute_error(ρ_h, exact_solution)
        errors.append(error)

    # Проверяем порядок сходимости
    orders = np.log(errors[:-1]/errors[1:])/np.log(2)
    assert np.all(orders > 1.8)  # Ожидаемый порядок ~2

Тест 5.2 (Сохранение Ξ-инварианта):

def test_xi_invariant():
    ρ_initial = initial_condition()
    Ξ_initial = compute_xi(ρ_initial)

    for t in range(num_steps):
        ρ = solver.step(ρ)
        Ξ = compute_xi(ρ)
        # Ξ должен монотонно возрастать
        assert Ξ >= Ξ_initial - tolerance
        Ξ_initial = Ξ

5.12. ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Использование преconditioners:

# Для решения M ρ_{n+1} = b
preconditioner = spilu(A)  # Неполное LU-разложение
M = LinearOperator(A.shape, preconditioner.solve)

ρ = gmres(A, b, M=M, tol=1e-10)

GPU-ускорение:

import cupy as cp

class GPUSolver:
    def __init__(self):
        self.M_gpu = cp.array(M)
        self.A_gpu = cp.array(A)

    def step(self, ρ_gpu):
        b_gpu = self.compute_rhs(ρ_gpu)
        return cp.linalg.solve(self.M_gpu, b_gpu)

ИТОГ ШАГА 5: Была построена полная численная схема для КИВ-системы:

  1. Дискретизировано пространство и время с оценкой погрешности

  2. Разработаны алгоритмы для многоуровневой системы

  3. Реализованы критерии остановки и адаптивное управление

  4. Оптимизированы вычисления через разреженные матрицы и GPU

  5. Созданы тесты верификации для проверки корректности

Теперь есть ВСЕ компоненты для численного моделирования КИВ-системы