1.1. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ

Определение 1.1 (Поле когерентности).
Пусть ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы. ⊂ ℝⁿ — ограниченная область с гладкой границей, представляющая физическое пространство чипа.
Полем когерентности назовём функцию:

ρ : ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы. × [0, ∞) → ℂ

принадлежащую пространству Соболева: ρ(·, t) ∈ H¹(ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы.) для любого t ≥ 0.

Физический смыслСмысл — это активная конфигурация отношений в ρ-поле, связывающая потенциальные состояния в устойчивую когерентную форму, задающую направление эволюции системы.:

  • |ρ(x,t)| — амплитуда когерентности в точке x в момент t

  • arg(ρ(x,t)) — фаза когерентного состояния

1.2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИИ

Определение 1.2 (Уравнение КИВ-динамики).
Эволюция поля когерентности описывается уравнением:

∂ρ/∂t = K̃(ρ) − ∇·(ρv) + σ(Ξ)

где операторы определены следующим образом:

A. K̃-оператор (композитный):

K̃(ρ) = K_loc(ρ) + K_nonloc(ρ) + K_cross(ρ)

B. Локальная компонента:

K_loc(ρ) = D∇²ρ + V(x)ρ + F(ρ)

  • D > 0 — коэффициент диффузии когерентности

  • V(x) — внешний потенциал (кодирует задачу)

  • F(ρ) — нелинейная функция (например, F(ρ) = αρ − β|ρ|²ρ)

C. Нелокальная компонента:

(K_nonlocρ)(x) = ∫_Ω K(x,y) G(ρ(y)) dy

  • K(x,y) — ядро нелокальной связи (симметричное: K(x,y) = K(y,x))

  • G — нелинейная функция (например, G(z) = z или G(z) = |z|²z)

D. Межуровневая компонента (для многоуровневой системы):

K_crossρ = Σ_{m≠n} Γ_{n←m} [Π_n ∘ S_{m→n}(ρ_m) − ρ_n]

  • Γ_{n←m} — коэффициенты связи между уровнями

  • S_{m→n} — оператор проекции (ренормализации)

  • Π_n — проекция на пространство признаков уровня n

1.3. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Определение 1.3 (Граничные условия).
На границе ∂ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы. задаются условия Неймана:

∂ρ/∂n = 0 на ∂ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы. × [0, ∞)

что соответствует отсутствию потока когерентности через границу.

Определение 1.4 (Начальные условия).
В начальный момент задаётся:

ρ(x,0) = ρ₀(x) ∈ H¹(ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы.)

где ρ₀(x) кодирует входные данные задачи.

1.4. ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИОНАЛ (МЕРА КАЧЕСТВА РЕШЕНИЯ)

Определение 1.5 (Функционал Ляпунова).
Определим функционал энергии системы:

L[ρ] = ∫_Ω [D|∇ρ|² + V(x)|ρ|² + U(|ρ|²)] dx + 
        (1/2)∫_Ω∫_Ω K(x,y) G(ρ(x))G(ρ(y)) dx dy +
        межуровневые_члены

где U(s) — потенциал нелинейности (например, U(s) = (α/2)s² − (β/4)s⁴).

1.5. ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Задача 1.1 (Стационарные состояния).
Найти стационарное решение ρ* : ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы. → ℂ уравнения:

K̃(ρ*) − ∇·(ρ*v) + σ(Ξ) = 0

которое является локальным минимумом функционала L[ρ].

Задача 1.2 (Динамическая сходимость).
Доказать, что для любого начального условия ρ₀ ∈ H¹(ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы.) решение ρ(x,t) сходится к некоторому стационарному состоянию ρ* при t → ∞:

lim_{t→∞} ||ρ(·,t) − ρ*||_{H¹} = 0

1.6. КЛЮЧЕВЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Предположение 1.1 (Выпуклость потенциала).
Функция V(x) ограничена снизу и удовлетворяет условию:

V(x) ≥ V₀ > −∞ для всех x ∈ ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы.

Предположение 1.2 (Положительная определённость ядра).
Оператор с ядром K(x,y) положительно определён:

∫_Ω∫_Ω K(x,y) φКогерентная форма — проявленная структура, возникшая как устойчивое решение в ρ-поле.(x) φКогерентная форма — проявленная структура, возникшая как устойчивое решение в ρ-поле.(y) dx dy ≥ 0 для любой φКогерентная форма — проявленная структура, возникшая как устойчивое решение в ρ-поле. ∈ L²(ΩАбсолютный предел когерентности — предельная точка рекогеренции системы.)

Предположение 1.3 (Диссипативность).
Нелокальная компонента диссипативна:

Re ∫_Ω (K_nonlocρ) ρ̄ dx ≤ 0